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关于中美奥数在线讲座的记录与分享

版主: SharpCharley嘟嘟妈妈Albert

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Charley
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关于中美奥数在线讲座的记录与分享

帖子 Charley » 周一 8月 13, 2018 6:51 pm

我本人并不是数学竞赛方面的专家。写下这篇东西,一来是答应了猪爸写一点关于数学方面的经验或者感悟;二来是因为今年六月在线听了关于中美奥数的讲座,原本就想归纳整理来着。正好猪爸开了个教育论坛,那就记录、存档并分享一下。如果有什么问题,请指正。

这篇东西,和夏普老师的中学奥数贴一点不会冲突,因为夏普老师的那篇是更接地气的关于澳洲本地的数学竞赛科普贴,对我们了解身边所能及的奥数很有帮助。而这篇是介绍中、美的奥数选拔,以及奥数圈里人(那些IMO金牌和教练)怎么看奥数。


========== 分割线 ==========


今年(2018年)6月中,我在线收听了一个北美华人组织的数学奥赛讲座,受益匪浅。组织者请到了下面一些有份量的嘉宾做主讲,可以说他们对奥数的理解是相当专业和有深度的。

主持人:
张朝晖,1990年IMO金牌。北京四中,耶鲁大学本科数学和计算机专业,MIT数学博士。毕业后在高盛等金融机构从事金融投资工作至今。

美国奥数主讲:
Po-Shen Loh,罗博深教授,1999年IMO银牌。加州理工学院数学本科,剑桥数学硕士,普林斯顿数学博士。现于卡内基梅隆大学数学系任副教授,美国现任IMO队主教练,AI学习平台expii.com 创始人,《罗博深数学思维训练》系列课程开发人和主讲。

中国奥数主讲:
姚健钢,1994年IMO金牌。在北京大学数学学院读本科和研究生,期间参与母校人大附中华罗庚学校的教学、组织工作,并编写《数学思维训练导引》等教材。UC Berkeley 数学博士毕业后, 在香港做金融,兼任香港中文大学客座讲师,先后数次参加IMO中国国家集训队的培训。

下面就是我对主讲人发言的整理和记录。

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Charley
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帖子 Charley » 周一 8月 13, 2018 6:51 pm

Maths Olympiad – The Fact – 中美数学竞赛的选拔体系

1、美国的数学竞赛选拔体系

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美国的奥数选拔,到进入MOP(夏令营),共有三层。分别为AMC10/12,AIME,USJMO/USAMO。

美国奥数的第一层选拔,是美国的AMC10和AMC12。
(注1:这是由美国数学协会MAA主办的American Mathematics Competitions,而非澳洲AMT主办的Australian Mathematics Competition。)
(注2:美国数学协会MAA主办的还有AMC08,是给8年级及以下的初中生或者小学生参加的数学竞赛。)

AMC10的参赛者为10年级及以下的学生。AMC12的参赛者为12年级及以下的学生(所有中学生都可以参加)。
两个竞赛都是25道选择题,75分钟。满分150。每一题答对得6分,不答得1.5分,答错得0分。因此随便瞎猜一个选项是不被鼓励的。
两个竞赛都在每年的2月初进行,都有A、B两卷。参加任何一场,或者两场都参加都可以。譬如,低年级学生可以同年参加AMC10A和AMC12B的考试。
这两个竞赛每年都有大约6-7万人参加。

AMC10的TOP 2.5%和AMC12的TOP5%进入下一层的选拔 - AIME(American Invitational Mathematics Examination)。大概总共3000-4000人进入这个比赛。AIME为15道填空题,3小时。满分15分。答案为0-999之间的整数。每年的三月进行。
(注:这个比赛比AMC10和AMC12上了一个档次。个人感觉比澳洲的AIMO的题更有难度。)

AIME后,低年级学生参考一半AMC10和一半AIME的成绩,大概200-250人进入下一轮 – USJMO。高年级学生参考一半AMC12和一半AIME的成绩,大概250人进入下一轮 – USAMO。USJMO和USAMO都是参照IMO的形式,比赛两天,每天3道证明题4. 5个小时。每年的四月进行。

然后六月有大约60人进入MOP(Mathematical Olympiad Program)- 奥数夏令营,相当于中国的国家集训队。再通过一系列的选拔赛,选出最后的6个人代表美国参加最后七月进行的IMO – 国际数学奥林匹克竞赛。

美国的数学竞赛的流程非常紧凑。从二月的初级选拔赛,到最后六月的国家队,也就是4个月的时间。赛制上鼓励低年级的学生参加,为9-10年级(初三、高一)的学生提供机会(大约1/3的名额)进入MOP。


2、中国的数学竞赛选拔体系

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中国的奥数选拔,到进入国家集训队,有两层。分别为全国高中数学联赛,中国数学奥林匹克。

选拔第一层 - 全国高中数学联赛,在每年的九月进行,全国有3-5万人参加。有些省区还会在四、五月份进行初选的考试。
全国高中数学联赛一试,为八道填空题各8分共64分,三道解答题为56分,满分120分。时间80分钟。休息20分钟后,马上进行全国高中数学联赛加试。加试为四道解答题,满分180分。这样总分就是300分。
每个省有一、二、三等奖。一等奖每个省有50人左右。

选拔第二层 - 中国数学奥林匹克CMO。CMO的选拔人数大概有300多人,选手是先前从各省市选拔出来的。CMO也是参照IMO的形式,比赛两天,每天3道证明题4. 5个小时。每年的十一月进行。
奖项也是一、二、三等奖。目前通过CMO进入下一轮的集训队(60人)的学生,将有高考保送资格。

进入国家集训队后,分为两个阶段。第一阶段进行集训后,选出15人左右进入第二阶段的培训。最后在第二阶段再选出6位选手为中国国家队队员。国家集训队的考试分为小考和大考。 大考就类似IMO的形式进行考试。最后将小考和大考的成绩按照权重相加,来决定谁能够进入IMO中国国家队。

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Charley
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帖子 Charley » 周一 8月 13, 2018 6:52 pm

Maths Olympiad – The Opinion – 怎样看待奥数(务虚篇)

内容概要
1、 为什么要学奥数?
2、 课外活动的选择 – 奥数还是其他
3、 数学竞赛需要韧劲
4、 提高心理素质
5、 奥数和爬藤的关系

家长常见问题的解答:
1、 如何发现孩子有学奥数的天赋?什么时候开始学奥数比较合适?
2、 如果要搞数学竞赛的话,一般要投入多少时间?
3、 奥数和编程的关系
4、 怎样激励同时喜欢数学和游戏(男孩)或者Social Media(女孩)的中学生去搞数学竞赛?
5、 数学竞赛有哪些局限性?
6、 要搞好奥数需要智商很高吗?还需要其他什么特质?
7、 为什么现在有小学生参加国际奥数比赛?
8、 美国AMC竞赛和国内数学竞赛的比较
9、 孩子暑假小学五升六,打算学习初中的数学竞赛内容,如何开始?


========== 分割线 ==========

1、 为什么要学奥数?

[Po-Shen Loh]:

我认为思考是最重要的,而奥数题是最能够培养思考能力的题目。我看数学,并不是48x23这样的题,那样的题只叫做计算。真正的数学就是找到新的想法解决难的课题。如果只是走别人已经找到的路,其实那不是数学,那是计算。数学里的奥数题就会给你这些经验,找自己的路。奥数题的编写者,会编一些很奇怪的题,让人感到难以解决。不像学校里考试的数学题,一般看一眼就知道如何开始;如果看不出思路,学生习惯于跳到下一题。从取得分数的角度,这并没有什么错。但是如果你钻研那些非常难的难题,思考很久,这无疑会锻炼你的思考能力。

我一般会带一些比较难的奥数题,来让学生们挑战自己。让他们自己来思考,应该怎样开始解题。我不喜欢教学生说有这样那样的方法来做这种题,然后给学生10道题进行练习。我每次都会让学生自己思考怎样开始解题。如果你习惯了这样的思考,学会开始解题的思路,那你对任何的数学题都不会感到害怕了。

很多人习惯了先学习方法,然后练习类似题目的这个流程。有很多奥数培训班也是为了快速提高你的奥数分数,先教方法,然后让你练习。如果你只是关心分数,那么他们的做法也是对的,这可能就是短时期内的速成方法。但是你就失去了锻炼思考能力的机会。

对于之后的工作,学习奥数也会有助益。以金融业的工作举例。虽然搞奥数的人的金融经验没有那么多,但是他们真的会思考,会很快学到里面的方法,进而可以创造出新的方法。


[姚健钢]:

做任何事情肯定要设立一个目标。那么做数学竞赛我们当然可以制定具体层次上的目标,譬如我想在IMO上得金牌,或者我参加数学竞赛就是为了上名校。有具体的目标当然很好,但是如果只是以这些具体的目标为目的,可能在很多情况下会最终失败。从我的角度讲,我觉得数学竞赛最主要的是能够锻炼人的思维能力。那些解很多数学题的过程,也就是锻炼人的思维能力的过程。

那么除去思维能力方面,当然做数学竞赛本身,是以各种各样奥数题为载体的。在载体中也会出现知识和技巧。我的感觉是学习当中学到的那些知识和技巧本身也是有用的。在纯数学的研究,包括一些数学应用的领域、金融领域,其实都是有直接的作用的。如果搞数学竞赛,可能其目的应该设为更长远的方向。它对孩子长远的发展是有益的,特别是现在人工智能的时代,或者叫技术不断进步的年代,未来对人材的需求会是更需要高精尖的人材。那么数学竞赛本身可以使中小学生在基础教育阶段更深入地学习数学,可以更好地迎接未来的挑战。如果我们以这样的目的来搞数学竞赛,可能就会以比较平和的心态来做这件事情。


2、 课外活动的选择 – 奥数还是其他

[姚健钢]:

搞数学竞赛这件事情本身是需要投入大量的时间和精力的。人是不可能是全能的,所以这里确实有一个选择的问题,要考虑在中小学阶段,我是否要花很大精力参与奥数的学习,还是说我去做其他更有意义的课外活动。对不同的孩子来说,可能是不一样的。


3、 数学竞赛需要韧劲

[姚健钢]:

如果我们参加数学竞赛,那么我们都想取得一个好的成绩。那么真正想在数学竞赛中出类拔萃,有一点是不能缺乏的,那就是持之以恒的努力,它需要一种韧劲,才有成功的可能。我举一个听到过的故事,是游泳健将菲利普斯来香港演讲。他就提到,他对在奥运会得金牌这件事非常的执着。那么为了提高自己的成绩,他就非常努力地训练。通常游泳运动员每周训练6天,周日回家。他说他就每周训练7天,那么周日回家的选手他们回来,可能要到周二才恢复最佳状态,而他每天都能保持在最佳状态。我想他能取得巨大的成功,是和他持之以恒的努力绝对是分不开的。

对数学竞赛中要想取得非常好的成绩,也是需要不断的努力,若干年的奋斗的。那么这样的奋斗是需要东西去支撑的。我觉得需要去支撑的两样东西,那就是兴趣和能力。首先孩子通过接触奥数,逐渐对奥数本身产生兴趣。在做奥数的过程中,如果能发现自己的能力,那么有了这两样东西,就比较容易支撑这个孩子能走得更远。


4、 提高心理素质

[姚健钢]:

不可否认,数学竞赛本质上是一个竞技的活动。竞技活动要想取得成功,有几点肯定是需要的。首先是实力,其次也有运气的成分。再有,很重要的一点是心理素质。那么这个心理素质的训练,也是在奥数学习中要贯穿始终的。比较好的一个心理状态是,在考试前完全不去想成败。当你在考试的时候,能够真正地投入到解题的有一点像半真空的环境中,不去想其他的所有的事情,这就是一个比较好的状态。



5、 奥数和爬藤的关系

[Po-Shen Loh]:

看最远的终点,才会让你看清方向,藤校只是中间的路。另外,奥数成绩当然对申请藤校有帮助,但并不能保你进藤校。那是因为美国的名校不只是看成绩,那些过程也是重要的。那些好好学过奥数的学生之所以能进入名校,不见得是因为他们的奥数成绩好,而是因为他们的思考能力强,过程非常好。所以要想宽一些,不要只是盯着成绩。

很重要的一点,孩子要爱想爱思考。如果孩子不爱想那些难题的话,那也不会成功的。我已经看到很多各种各样的孩子。如果孩子不是真正地觉得这个东西是好玩的,而是你压着他们做;虽然他们也能做的不错,也能进入名校,但是他们一进入名校以后,就开始打游戏上瘾。

[姚健钢]:

确实从中国申请美国名校的事例越来越多。我的感觉是,如果中国的学生申请美国名校,最基础的你必须先要在一个好的高中,然后在这个高中里有非常优秀的学科成绩。这之后,如果你有一个出类拔萃的课外活动,那应该是有比较大的帮助的。数学竞赛在这方面会起到一定的作用,但是也是要结合孩子的具体情况。


========== 分割线 ==========


家长常见问题的解答:

1、 如何发现孩子有学奥数的天赋?什么时候开始学奥数比较合适?

姚健钢:我举一下自己个人的例子吧。当时我学习奥数是从小学四年级开始的,源于一个数学老师出的数学题。老师并不是要我们解应用题,而是给了我们若干个条件让我们编应用题,看谁编的最多。我回家以后和爸爸一起做,结果我是班级里编的最多的,编了26道应用题。虽然这里面其实有很多题目也是我爸爸编出来的,但是就是这样一个学习的过程呢使得我对数学非常有兴趣,而且也有了自信。

另外一个例子,是一位前奥数金牌,现在也是一位成功的数学学者。他是从小学开始就接触奥数的。当然也有一些反面的例子,在小时候就搞奥数,但是可能成绩不佳,最后对奥数、甚至对数学丧失了兴趣的。

国内可能因为小升初的压力,很多孩子从小学一年级就开始学的。从我的角度出发,其实如果方法得当,这么早开始,并没有什么不利的影响。关键是说,我们的培训,不能变成那种偏重技能型的,死记硬背一个题型去套一个技巧的。而应该是启迪思维的。

一个人到底有没有学习奥数的天赋,其实我自己也没用答案是否Yes or No。但无疑的是,你只有让孩子接触到奥数,你才有机会知道孩子是否有这个天赋或者能力。


Po-Shen Loh:其实我觉得所有的学生都可以学奥数的。如果你要让他们开始,最重要的是要找一个方法让他们觉得这个真的是一个好玩的东西。如果学生觉得好玩,他真的想,那就可以走得很远;但是如果他不是真的想做,那就很难推他的。所有最难的是怎么让他们从心底里真正想做这件事情。所有还是要让他从小喜欢挑战自己,喜欢思考。


2、 如何要搞数学竞赛的话,一般要投入多少时间?

姚健钢:从高往低说,我了解的,在中国这个环境下,学生大概要花几乎所有的业余时间来搞数学竞赛的。从我个人的角度来讲,我初中以后,几乎所有的业余时间在搞数竞,最后的两年也是参加了很多的集训。那么小学奥数而言,其实我觉得每天半小时、一小时就足够了。关键还在于学生能够在抱有兴趣的状态下去学习,那么学习的效率会比较高。

Po-Shen Loh:我来做一个乘法吧。每一周7x24小时,是168小时。除去吃饭、睡觉,其实一个星期有很多时间,但是就看你的心思在哪里。如果你真的想做一件事情,你总是会找到时间来做的。有个说法是,如果你花了一万个小时做任何事情,都会做得好。只是因为每个星期时间有限,你要好好选择好如何分配你的时间。只要你花时间在数学,或者科学、写作、计算机,等等,只要没有浪费时间在无意义的事情上面,这些都是好的。

回想我小时候,每天可能是花一小时或者一个半小时在数学,但我也会花一两个小时在编程。只要是你最爱的东西,你会找几个小时来做这件事情。做够了以后,你也会进步得很快。


3、 奥数和编程的关系

Po-Shen Loh:我在高中的时候发现自己很喜欢编程,因为我想编自己的电子游戏,而且我觉得这是个非常大的挑战。我发现奥数和编程是很有关联的。因为编程也是在思考数学问题。如果你参加编程的竞赛,那么就需要编写算法了。我就发现那些算法的题目,其实都是关于数学想法的,譬如组合算法。


4、 怎样激励同时喜欢数学和游戏(男孩)或者Social Media(女孩)的中学生去搞数学竞赛?

Po-Shen Loh:其实要激励孩子们做事情,你真的要了解他(她)们的想法。我个人觉得电子游戏完全是浪费时间的,是不好的。可能从小找些办法,让他们有别的事情做。有些家长用ipad来带孩子,好让自己做别的事,以后可能就比较麻烦了。最好是减少游戏,培养其他方面的兴趣。但是Social Media有点不同,如果用得对,还是很有用的。我个人也用Social Media。当然,如果迷住了,也不好。其实可以利用Social Media,为孩子和他们的朋友之间学习数学搭建桥梁。


5、 数学竞赛有哪些局限性?

Po-Shen Loh:其实有很多数学家也说奥数和高等数学没有太多的关联。我自己也做数学研究。我想奥数和做数学研究之间最大的区别是,你做奥数的时候,由别人给你题目来做;而做高度数学的研究,是你自己来想应该研究哪些课题。我们自己要清楚研究的方向。所以我想说,奥数的背景是很有用的,但你就需要适时地转到新的高等数学研究。

姚健钢:数学竞赛是一种形式的数学教育活动。那么我们判断这个数学教育活动的成功与失败,并不能简单地来说IMO的金牌今后有多少成为杰出的数学家来作为一个唯一的标准。数学竞赛和数学研究其实是两码事。而且对于更多的学生和家长而言,数学竞赛的目的其实也不应该是IMO拿金牌,可能也不是将来孩子要成为数学家。而是说,通过数学竞赛这样一个在中小学的活动,能够让孩子成长得更健康。


6、 要搞好奥数需要智商很高吗?还需要其他什么特质?

姚健钢:对于智商这件事,我的看法是,智商其实也是某一种形式的考试。只要是考试,它其实都是可以训练的。所有我并不觉得智商的高低是衡量学校奥数的一个指标因子。我个人感觉,学好奥数或者更广泛一点的学好数学,更主要的是对数学本身的兴趣和好奇心。当然每个人的先天有差异,那么可以在孩子还小的时候,给他一些数学或者奥数的尝试,看他是否能发现这是他感兴趣和有能力的领域。


7、 为什么现在有小学生参加国际奥数比赛

姚健钢:这个问题更多的是出现在亚洲地区。确实现在在亚洲地区,譬如中国、香港、新加坡,出现了很多的小学的数学竞赛,也是以International Olympiad的这种形式来命名的。我想如果有机会去参加一些这样的竞赛,其实是件好事,但没有必要把成绩看得过重。


8、 美国AMC竞赛和国内数学竞赛的比较

姚健钢:以试题的难度来看,我感觉AMC8可能基本上相当于国内的小学奥数。中间当然有一些几何和代数的内容,会略高于小学数学。AMC10的难度和内容基本上和国内初中数学联赛的水平是相当的。AMC12大致上是国内高中联赛一试的水平。但是美国AMC竞赛和国内的竞赛最大的差别在于:AMC竞赛对速度有很高的要求。

那么对AMC竞赛的训练规划呢,我觉得最有效的方式就是做AMC真题。这些真题从对竞赛的准备来说,是最珍贵的资源。这些真题和解答在美国的AOPS的网站上也有。那么在练习真题的过程中,我觉得有效的方式,并不是一套一套地做,因为这样对刚接触的同学是无法学习到系统的知识的。最有效的方法是分类,按照不同的专题来做。这样你就能发现这些题目的共性,找到我提到的技巧和思想方法这些更通用的东西。

几年级的学生可以参加美国AMC?我的经验是,国内的同学如果低上2-3个年级去参加(譬如5-6年级参加AMC8)应该是没有问题的。


9、 孩子暑假小学五升六,打算学习初中的数学竞赛内容,如何开始?

姚健钢:从我个人的经历来讲,我是首先把初中课内的数学先搞透。达到这个水平之后,再去做各个地方的初中数学竞赛的试题。当然准备课内数学和竞赛数学,也不是说要把初中所有的内容学完才能学竞赛数学。但是对于同一个专题而言,比方说因式分解,那肯定是先学好课内的因式分解,然后再去看更复杂的因式分解的题目。

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Charley
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帖子 Charley » 周一 8月 13, 2018 6:58 pm

Maths Olympiad – The Opinion – 怎样学习奥数(务实篇)

内容概要
1、挑战自己,做有难度的题。
2、共同学习
3、如何对待“题洋”
4、知识点 | 技巧 | 思想
5、循序渐进地学习
6、做题遇到瓶颈怎么办
7、参考书籍推荐


========== 分割线 ==========

如何学习奥数?

【Po-Shen Loh】:

1、挑战自己,做有难度的题。

一直挑战自己,是最重要的。有很多学生先学方法,然后一直练,速度会越来越快,但他们有可能没有学到想新的思路、新的东西。举例Maths Count(美国的一个数学速竞),一开始接触可能感觉有些难。但如果你一直一直做,就练到相当熟练,速度也非常快。但是如果你习惯了这样的速竞,那就比较难转到大题难题的高中数学竞赛。所以平时我会给学生一些AIME(比较有难度的15道填空题的数学竞赛)来让他们思考。

如果你真的要快速进步,最好找一些有挑战的难题。那些题不应该太容易也不能太难,最好是你能做出来的成功率在25%-75%之间。如果你一直做99%成功率的题目,感觉自己非常棒,那应该转变一下你的想法:可以想我今天做的50%成功率的题目,是有多难呢?如果每天都做成功,但都是没有什么挑战的题,那其实是浪费时间的。如果你能培养这样的想法,那你会走得很远,因为你天天都在进步,每天都做得更好。如果你只是追那个99%,那么100%就是ceiling了,就无法超越了。我家里自己的孩子也是这样,我们并不追求速度,而是给他们有难度的题目。小学的时候用AMC8、Maths Count,让他们来思考一下。


2、共同学习

有时候,学习奥数是通过孩子他们的朋友,他们的同学。如果你的孩子只是单独学习奥数,他有可能会变得很孤独的。如果可以有一个非常好的团队大家都在一起学习,他们会互相帮助,也会觉得一起学习会比较好玩。


【姚健钢】:

3、如何对待“题洋”

说到做题,大家就会提到题海战术,或者现在有个时髦的名词叫做刷题。那么究竟该怎么看待这个事情呢?我们国家著名的数学竞赛的教练 – 单墫老师在《我怎样解题》的书中前言有一段话,和大家分享一下:

“数学题多,太多了!
准备高考的同学都做了大量的题。题多,很多人称之为“题海”。
数学竞赛的题更多了。高考题的内容限定了课本,题型也都是常见的,而竞赛则不断推陈出新,变化无穷。竞赛题多,比大海还要浩瀚,可以称之为“题洋”。
但我们不必“望洋兴叹”。因为本来就没有必要做完所有的题,喝干“洋”水。“弱水三千,只取一瓢“。从大洋中舀一瓢水,细细品味,就可以知道大洋的成分。同样地,从众多的竞赛题中选出一部分,仔细分析,就可以基本了解竞赛题的全貌,可以提高解题的能力,在题洋中自由自在地游来游去。
就好像《唐诗三百首》,好像《古文观止》,从众多的唐诗、古文中选出一部分有代表性的作品,熟读之后,对古代的诗、文就有所了解,甚至“不会作诗也会吟”。”


4、知识点 | 技巧 | 思想

以下是我所理解的数学解题的框架结构。

数学本身是一个公理体系。它由公理出发,有定义、公式、定理。这是一个逻辑缜密的知识点体系。这种知识点体系是解题所必须的基础知识。对数学竞赛而言,除去课内的知识,还有很多课外的知识点。如果一些比较重要而又基础的知道点不了解,在考试的时候肯定会吃亏。

在知识体系之上呢,每一道题的解决,其实是一步一步逻辑的推理过程。但在这种逻辑推理过程中,有若干步骤会形成一个小的结构,而且这种结构会在很多题里会反复出现的。那么这种结构我们可以称之为技巧(Tricks)。譬如说在几何图形中出现了三角形和平行线,通常可以考虑是不是要找相似三角形。又譬如在数论问题中,有一个常见的做法可以尝试的,就是要不要对数进行分解质因数的操作。在我的感觉中,高考和SAT与数学竞赛最大的差别就在于,高考试题中的技巧和题型是有比较明显的一一对应的关系的,在高考中最后几道大题的题型也是比较确定的,数得出来的。同时每个题型所用到的技巧也是可以列举出来的。譬如在解析几何中,有直线和椭圆、双曲线相交的交点那么这两个交点的坐标一般不用直接算出来,而是用韦达定理会比较简单。那么这种考试把技巧和题型建立了一一对应的关系,所以在我看来,使得这种考试比较容易准备。换句话说,对人的挑战性和逻辑思维能力的培养会弱化一些。而数学竞赛则不同,基本上它的技巧并不是以一种很明显的方式体现出来的。

那么在技巧之上,在解数学题,还有一些思想方法(ideas)。譬如说,解题的时候从特例出发,从简单到复杂,如果正面思考比较复杂,那么能不能从反面进行思考。那么这些是在解题的过程中的一些基本的原则。这些原则通常说起来是比较模糊的,很难以一种情绪的语言表达出来,而可能要通过解题的过程中才能对这些原则有所认识。如果能够掌握这些方法和思想,其实是更有助于我们解决各式各样的问题的,特别是数学竞赛题,是不断地推陈出新的状况。

如果用数量来描述的话,题洋(AIME水平的题)可能至少是5位数,几万道。而对于高中数学的知识点来说(包括数学竞赛的知识点),可能是4位数,几千个。而技巧相对来说就更少一些,也许是3位数几百个技巧。而我们归纳到思想和方法,那可能就只是2位数的状况。所有这些东西学生通过不断解题的探索和磨练,他最终就会形成一种题感。他的脑海里虽然都存在知识点、技巧和思想,但是他还存在一个自然的,或者很难说清楚的东西。当他看到一道题目的时候,他就会通过题目本身,引发出一些联想,然后去尝试,最后可能得到正确的解法。


5、循序渐进地学习

最核心的是要循序渐进地学习。就从准备高中联赛到进军IMO的过程,我自己的情况大致是这样的:

首先我在准备高中联赛之前做了很多高考模拟题,基本达到90分钟基本满分的水平。这样就保证了基本的解题速度是足够快的,这样为后面的思考省出更多的时间。

第二个水平,是国内联赛的加试或者美国AIME的水平。这种题目的练习,我主要通过做一些其他国家数学竞赛的试题。不过现在我们已经有大量的以前高中数学联赛的真题可以进行练习。

最后是达到IMO水平的训练,这当中肯定是需要做更多的题。但这当中锻炼的并不是简简单单的积累技巧,而是一种怎么样探索问题思考问题的能力。在更高水平的练习中,有些题可能要花更长的时间把它做出来,甚至想上一天两天;也有些题目是通过阅读的方式来学习和理解。核心是,不能只是知道解答是什么,而是要知道解答背后能不能总结出来在思想方法这个层面的一些idea。


6、做题遇到瓶颈怎么办?

Po-Shen Loh:当你碰到一道题真的想不通,我的做法是:我就先看那道题在考试中应该要花多长时间。譬如平均应该花15分钟做那道题,那我就花30分钟来想。如果想不通,我就会看答案里的解法。但是我不会把解法从头看到尾,而只是看中间的几句话,当一个hint,然后再花多点时间想。如果再不能解决,就再多看一句。这样,就能练习到自己的思考能力。

姚健钢:我自己曾经有一个很明显的瓶颈期,那是在高中学习立体几何的时候。因为那是三维的,但需要用二维的画图来解题。而且立体几何的公理体系和平面几何又不太一样,虽然不多,但是要从画图中观察出来也并不是一件容易的事情。当时我的办法是找了一本那个时候不错的立体几何辅导书,里面大概有上百道题。我把每一道题都认认真真地把图画一遍,解答写一遍。经过这么细致地学习解答的过程,就发现自己的功力有了明显的提升。所以遇到瓶颈期不要着急,要加强总结和分析。相信自己是会有一个从量变到质变的过程的。


7、参考书籍推荐
姚健钢:高中数学竞赛的部分,以IMO这个水平,有单墫老师的一套《解题》丛书。另外还有《走向IMO系列》丛书,顾问是裘宗沪老师,也是数学竞赛届的元老了。

图片

(虽然不是最新版本,但如果想参考一下的话,下载这套书 - https://drive.google.com/drive/folders/ ... sp=sharing

中文的数学竞赛题已经是非常之多了。如果你还想看不同老师出的书,那么下面这个名单是可以用于参考的。

单墫,苏淳,严镇军,黄宣国,李成章 – 数学竞赛的第一代教练;
熊斌,余红兵,李胜宏,朱华伟 – 较年轻一代的数学竞赛教练。


姚健钢:最后再说一句:今天我们讨论的是奥数或者数学教育这样一件事情,对于同一件事情大家可能会有不同的认识,那是很正常的。今天我所讲的,也只是我个人对这个问题的理解。也欢迎大家批评和提出不同的意见。我今天所说的,其实和我当初搞数学竞赛的时候会有所差别。因为现在的理解也是结合了后来我工作,和搞数学竞赛培训以来的经验。如果用一句话总结的话,就是希望我们的牛蛙们能够以平和的心态参与奥林匹克数学这样一项有意义的活动。Enjoy Maths!

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Rosemarytax
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帖子 Rosemarytax » 周一 8月 13, 2018 7:30 pm

//gza 默默收藏
In solitude, be a multitude to yourself!

嘟嘟妈妈
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帖子 嘟嘟妈妈 » 周一 8月 13, 2018 9:51 pm

查理老师威武,手工点赞👍

melbourneONE
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帖子 melbourneONE » 周二 8月 14, 2018 11:22 am

//good //good //good

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方小飞
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帖子 方小飞 » 周三 8月 15, 2018 3:06 pm

手动点赞,谢谢查理老师
大家好,我是方小飞。

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Charley
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帖子 Charley » 周四 8月 16, 2018 12:00 pm

填完两个坑一看,Word Count 居然也有一万多字。本想写点自己的感悟,还是先歇一下吧。

欢迎交流你对奥数的理解和感想。 //wx

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